【BF專欄】借10萬，5年後還12萬，借不借？

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By 艾瑪沈 on 24 Jan 2018

問題一：

隔壁老王跑來問你借10萬元，說5年後還你12萬。

你想著，這10萬元放在銀行，年利率也就3%，一年利息3千塊，5年利息1.5萬。老王還你12萬，你還賺了5千。自然是借的好。

懂理財知識的同學，立刻舉手：

“ 我知道，我知道，艾瑪你要講複利。複利就是錢滾錢。如果用複利來算，肯定不划算。”

No. No. No.

如果年利率3%，5年複利，最後的終值也不過是115927。只比單利多了927元。

“ 哈？！那還是借的好？”

問題二：

這些年通貨膨脹得厲害，貨幣一直在貶值。假設每年通脹率3.5%，今天的100元，多少年後，只相當於如今50元的購買力？也即，什麼時候，購買力減半？

問題三：

銀行裡的理財產品有日日盈、月月盈、雙月盈、年年盈，如果年利率都是5%，應該買哪一個好？

很多人都聽過單利和複利的概念，但對於怎麼應用，卻不甚了了。

除了經常被提及的複利三要素——本金、時間和投資回報率——以外，艾瑪還介紹了影響收益的第四個要素。本文還對複利的應用做了簡單介紹。

文章需要些數學知識，但不影響理解。對數學沒興趣的同學，可以直接跳到第5段“三個問題的答案”。

1. 什麼是單利？

要明白“複利”，首先得瞭解“單利”。因為複利，其實是多個“單利”的組合。

所謂單利，即一筆錢無論存多久，只有本金計算利息。

單利利息（I）=本金（PV）× 年利率（Rn）× 年數（t）

比如，隔壁老王借10萬，年利率3%，借5年

利息 = 10萬 x 3% x 5 = 1.5萬

五年後單利終值為 10萬+1.5萬 = 11.5萬

這裡的利率（Rn）是年利率。如果不滿一年，計息期數按比例計算，如50天，則是50/365; 一個月就是1/12；一個季度就是1/4。

隔壁老王借10萬，年利率3%，80天后歸還

利息 = 100,000 x 3% x 80/365 =657.53(元)

圖/Pixabay

2. 什麼是複利？

複利的英文是“Compound Interest”. 愛因斯坦說過這麼一句在理財界廣為流傳的話：複利是世界第八大奇跡。知之者賺、不知之者被賺。

所謂複利，即除了由本金獲得利息以外，新得到的利息在下一階段同樣可以生息，俗稱“利滾利”。

比如，隔壁老王問你借的10萬元，年利率3%，借5年,

第一年利息 = 100,000 x 3% = 3,000元

第二年利息 = 103,000 x 3% = 3,090元

第三年利息 = 106,090 x 3% =3,182.7元

第四年利息 = 109,272.7x 3% = 3,278.18元

第五年利息 = 112,550.88 x 3% = 3,376.53元

五年後複利終值：112,550.88+3,376.53=115,927.41元

同學們又舉手了：“這樣算太麻煩了。難道20年、30年，也這麼一年一年算下去？”

自然沒有這麼傻。複利的通用公式如下：

財富的未來價值（FV） = 本金（ PV） x (1+ 年利率（Rn)）^年數（t）

純符號版本：FV = PV x (1+Rn)^t

注：公式中最後的t為次方

隔壁老王問你借的10萬元，年利率3%，借5年,

五年後複利終值 = 100,000 x (1 + 3%)^5 = 115,927.41元

網上直接搜索“複利計算器”，可以找到很多直接輸入關鍵數值就能出終值的小程式，非常簡便。

圖/Pixabay

3. 影響複利的四大因素

同學很沮喪：“五年，比單利才多了927元。算什麼第八大奇跡？”

先別急，再聽一個故事：

李嘉誠年輕的時候上夜校，老師跟他說：“每年存1.4萬元，年收益20%，40年以後，你就能成為億萬富翁。” 李嘉誠因此大受啟發，並努力實踐，終成華人首富。

同學雀躍：“哈？每年存1.4萬元，一個月不就只需要存1167塊？我現在每個月能存更多！難道就這樣等40年，我也能成億萬富翁？”

這就是複利的效果。

為什麼隔壁老王那10萬塊，5年下來只多收了927元。這每年的1.4萬，40年後本金也才56萬，如何能成就億萬富翁？差異在哪裡？

我們再看一下公式：

財富的未來價值（FV） = 本金（ PV） x (1+ 年利率（Rn)）^年數（t）

影響最後FV值的，有三個因素：

（1）本金：本金越高，未來財富越高。

這最顯然、也最簡單。

（2）年利率：年利率越高，未來財富越高

這點最難，也是很多人覺得複利最忽悠人的地方。大家都拿20%的回報來舉例，卻很少提起幾十年每年獲得20%回報率有多難。

（3）年份：時間越長，未來財富越高

最初十年，複利效果不明顯。很多人只見存錢，不見收益，加上又到了成家立業、買房買車的人生階段，生活負擔越來越重，很容易就放棄了。但是，想要看到複利的效果，就必須有足夠長的時間，而且越往後效果越顯著。

這三個要素，每一個因素的些微提升，都能大幅加快財富增長的速度。（不耐煩數字的，可直接跳過）

同樣以隔壁老王為例：

* 原例：隔壁老王問你借的10萬元，年利率3%，借5年, 複利比單利多收927元.

a. 本金提高至100萬，年利率3%，借5年。

單利終值 = 1,000,000 + 1,000,000 x 3% x 5 = 150,000元

複利終值 = 1,000,000 x (1 + 3%)^5 = 1,159,274元

複利比單利多收約9,000元。

b. 本金10萬，年利率提高至20%，借5年。

單利終值 = 100,000 +100,000 x 20% x 5 = 200,000元

複利終值 = 100,000 x (1 + 20%)^5 = 248,832 元

複利比單利多收約48,832元。

c.本金10萬，年利率3%，時間延長至30年。

單利終值 = 100,000 + 100,000 x 3% x 30 = 190,000元

複利終值 = 100,000 x (1 + 3%)^30 = 242,726 元

複利比單利多收約52,726元。

d. 如果三個因素都提高一些: 20萬元，合理的年利率8%，30年

單利終值 = 200,000 + 200,000 x 8% x 30 = 680,000元

複利終值 = 200,000 x (1 + 8%)^30 = 2,012,531

複利後，20萬變201萬。

複利比單利多收約153萬元。

圖/Pixabay

好學的同學又問：“艾瑪，你不是說有四大因素的嗎？公式裡只有三個，第四個在哪裡？”

（4）每年計息次數

複利與單利的不同之處在於利息也能產生利息。那麼，如果利息收到得越早，不就能越早開始利滾利了嗎？

沒錯！加上“每年計息次數”這個因數後，複利的公式改為：

財富的未來價值 FV = 本金PV x (1 + 年利率Rn/每年計息次數m)^（每年計息次數m*年數t）

符號版為：FV = PV x (1 + Rn/m)^（m*t）

注：公式中最後的m*t為次方

隔壁老王家：20萬元，每月結一次利息，每月利息8%/12（年利率8%分12次結），30年。

單利終值 = 200,000 + 200,000 x 8% x 30 = 680,000元

複利終值 = 200,000 x (1 + 8%/12)^（12*30）= 2,187,146元

時間還是30年，增加了第四個因數後，比剛剛的複利終值多了17.46萬。