挑戰經濟理論的硬幣投擲實驗 散戶實即輸多贏少

想像一下，給你提出以下的賭博：投擲一個公平的硬幣時，如果「公」朝上，將把你的財富增加 50％；反之，如果「字」朝上，將減去你目前財富的 40％。當面對這個遊戲時，你會選擇參與嗎？當然，你可能會問到，這個賭博是否允許重複，而這將帶出了一個金融理論中的 ergodicity problem（遍歷問題）。

所謂的 ergodicity problem，就是根據許多不同系統在平均的波動數量和時間下，是否能夠得到相同的數字。就以這個擲硬幣的賭博為例子，並以數學公式 xi(t) 作為系統集。在這個賭博系統下，對應於 N 個不同的玩家，每個人的起始財富為 xi = 100 美元，並且每個人獨立地投擲硬幣。硬幣被投擲後，大約一半的人會得到「公」，另一半會得到「字」。當玩家數量趨近於無窮大（N→∞）時，「公」和「字」的比例將精確趨近於 1/2；即一半的玩家將有 150 美元，另一半將有 60 美元。

在這種極限情況下，整體的平均值將是 1/2 x（150 + 60）= 105 美元。換句話說，這個平均值也被稱為期望值（expected value）。對於「硬幣投擲」這個系統，它每輪賭博都以 5％ 的速度增長，因此 ⟨x(t)⟩ = 100美元 × 1.05^t

然而，為了確認這個賭博不是 ergodic，由於「公」和「字」的比例趨近於 1/2，對於連續出現「公」或「字」，與「公」、「字」各一的玩家所經歷是完全不同的。假設初始財富為 100 美元，擲出「公」的結果將使財富增加到 150 美元，然後擲出「字」後，財富將減少 40％至 90 美元。在兩輪過去後，玩家損失了 10％，即每輪大約損失 5％。平均而言，若每輪損失 5％，個人的整體財富在長時間下必然趨近於零（或在對數尺度上趨近於負無窮）。

因此，這裡將得出了一個有趣的結果，許多系統表面上可將財富以平均每輪 5％增長 ，但實際上，卻可以長時間將財富以平均每輪 5％ 左右收縮。事實上，《黑天鵝效應》作者塔雷伯（Nassim Nicholas Taleb）亦認為，在投資和金融市的重要部分中，現實的體驗都是 non-ergodic；換言之，path dependence（路徑依賴）會是非常重要。

目前，大多數主流的經濟學理論都是基於期望值（expected value）這個概念，但某程度上在 erpodicity breaking 的情況下其實值得受到質疑。

輝立証券研究部高級分析師 李浩然

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